Der aus Mexiko stammende Bariton Eduardo Martínez begann sein Gesangsstudium zunächst in seinem Heimatland. Meisterkurse unter anderem bei Placido Domingo, Elina Garača und Javier Camarena erweiterten dabei seine musikalische Ausbildung. Erste Rollendebüts erfolgten als Gregorio in Gounods Romeo et Juliette am Teatro Del Maggio Musicale Fiorentino in Florenz, Marcello in Puccinis La Bohème am Teatro Bicentenario, Don Profondo in Rossinis Il Viaggio a Reims beim Rossini Opera Festival in Pesaro und als Belcore in L'Elisir d'amore mit dem Haifa Symphony Orchestra. Außerdem war er als Marco in Puccinis Gianni Schicchi, Fiorello in Rossinis Il Barbiere di Siviglia und Masetto in Mozarts Don Giovanni zu erleben. In seiner noch jungen Karriere arbeitete Martínez mit Dirigent:innen wie Zubin Mehta, Daniele Gatti und Riccardo Frizza zusammen.
Er ist Gewinner einiger Wettbewerbe und Preise, darunter der 1. Platz des XIX. und XX. Internationalen Ottavio Ziino-Wettbewerbs in Rom, der 1. Platz beim Wettbewerb Canta México Canta sowie der 3. Platz beim Fausto Ricci-Wettbewerb in Italien.
Seit der Spielzeit 2024/25 ist er Mitglied des Internationalen Opernstudios Hannover.